Kumpulan Soal Turunan dalam Kalkulus untuk Latihan

Ilustrasi Gambar Tentang Kumpulan Soal Turunan dalam Kalkulus untuk Latihan(Media Indonesia)

Memahami konsep turunan adalah fondasi penting dalam kalkulus. Kemampuan menghitung turunan suatu fungsi membuka pintu untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam matematika, fisika, teknik, dan bidang ilmu lainnya. Artikel ini menyajikan kumpulan soal turunan yang dirancang untuk mengasah keterampilan Anda dalam menerapkan berbagai aturan dan teknik diferensiasi. Dengan berlatih secara teratur, Anda akan semakin mahir dalam mengidentifikasi pola, memilih metode yang tepat, dan menghindari kesalahan umum.

Soal-Soal Latihan Turunan

Berikut adalah beberapa soal latihan turunan yang mencakup berbagai tingkat kesulitan dan jenis fungsi. Cobalah untuk menyelesaikan soal-soal ini secara mandiri sebelum melihat kunci jawaban. Ingatlah bahwa proses belajar yang efektif melibatkan pemahaman konsep dasar, latihan soal, dan evaluasi hasil.

Soal 1, Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x² - 7x + 1.

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan pangkat dan aturan penjumlahan/pengurangan turunan. Aturan pangkat menyatakan bahwa turunan dari xⁿ adalah nx^n-1. Aturan penjumlahan/pengurangan menyatakan bahwa turunan dari jumlah atau selisih fungsi adalah jumlah atau selisih turunan masing-masing fungsi.

f'(x) = d/dx (3x⁴) - d/dx (2x³) + d/dx (5x²) - d/dx (7x) + d/dx (1)

f'(x) = 3 4x³ - 2 3x² + 5 2x - 7 + 0

f'(x) = 12x³ - 6x² + 10x - 7

Soal 2, Tentukan turunan dari fungsi g(x) = (x² + 1)(x³ - 2x).

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan perkalian turunan. Aturan perkalian menyatakan bahwa turunan dari u(x)v(x) adalah u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Misalkan u(x) = x² + 1 dan v(x) = x³ - 2x.

Maka, u'(x) = 2x dan v'(x) = 3x² - 2.

g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

g'(x) = (2x)(x³ - 2x) + (x² + 1)(3x² - 2)

g'(x) = 2x⁴ - 4x² + 3x⁴ - 2x² + 3x² - 2

g'(x) = 5x⁴ - 3x² - 2

Soal 3, Tentukan turunan dari fungsi h(x) = (2x + 3) / (x - 1).

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan pembagian turunan. Aturan pembagian menyatakan bahwa turunan dari u(x)/v(x) adalah (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))².

Misalkan u(x) = 2x + 3 dan v(x) = x - 1.

Maka, u'(x) = 2 dan v'(x) = 1.

h'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

h'(x) = (2(x - 1) - (2x + 3)(1)) / (x - 1)²

h'(x) = (2x - 2 - 2x - 3) / (x - 1)²

h'(x) = -5 / (x - 1)²

Soal 4, Tentukan turunan dari fungsi k(x) = sin(x²).

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) g'(x).

Misalkan f(u) = sin(u) dan g(x) = x².

Maka, f'(u) = cos(u) dan g'(x) = 2x.

k'(x) = f'(g(x)) g'(x)

k'(x) = cos(x²) 2x

k'(x) = 2x cos(x²)

Soal 5, Tentukan turunan dari fungsi l(x) = e^3x.

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) g'(x).

Misalkan f(u) = e^u dan g(x) = 3x.

Maka, f'(u) = e^u dan g'(x) = 3.

l'(x) = f'(g(x)) g'(x)

l'(x) = e^3x 3

l'(x) = 3e^3x

Soal 6, Tentukan turunan dari fungsi m(x) = ln(x² + 1).

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) g'(x).

Misalkan f(u) = ln(u) dan g(x) = x² + 1.

Maka, f'(u) = 1/u dan g'(x) = 2x.

m'(x) = f'(g(x)) g'(x)

m'(x) = (1 / (x² + 1)) 2x

m'(x) = 2x / (x² + 1)

Soal 7, Tentukan turunan dari fungsi n(x) = (sin(x))².

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) g'(x).

Misalkan f(u) = u² dan g(x) = sin(x).

Maka, f'(u) = 2u dan g'(x) = cos(x).

n'(x) = f'(g(x)) g'(x)

n'(x) = 2sin(x) cos(x)

n'(x) = 2sin(x)cos(x) atau bisa disederhanakan menjadi sin(2x).

Soal 8, Tentukan turunan dari fungsi p(x) = √x.

Pembahasan, Kita bisa menuliskan √x sebagai x^1/2. Kemudian, kita gunakan aturan pangkat.

p'(x) = d/dx (x^1/2)

p'(x) = (1/2)x^{(1/2 - 1)}

p'(x) = (1/2)x^-1/2

p'(x) = 1 / (2√x)

Soal 9, Tentukan turunan dari fungsi q(x) = x²e^x.

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan perkalian turunan. Aturan perkalian menyatakan bahwa turunan dari u(x)v(x) adalah u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Misalkan u(x) = x² dan v(x) = e^x.

Maka, u'(x) = 2x dan v'(x) = e^x.

q'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

q'(x) = (2x)(e^x) + (x²)(e^x)

q'(x) = 2xe^x + x²e^x

q'(x) = e^x(x² + 2x)

Soal 10, Tentukan turunan dari fungsi r(x) = cos(3x + 2).

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa turunan dari f(g(x)) adalah f'(g(x)) g'(x).

Misalkan f(u) = cos(u) dan g(x) = 3x + 2.

Maka, f'(u) = -sin(u) dan g'(x) = 3.

r'(x) = f'(g(x)) g'(x)

r'(x) = -sin(3x + 2) 3

r'(x) = -3sin(3x + 2)

Soal 11, Tentukan turunan dari fungsi s(x) = tan(x).

Pembahasan, Kita tahu bahwa tan(x) = sin(x) / cos(x). Jadi, kita bisa menggunakan aturan pembagian.

Misalkan u(x) = sin(x) dan v(x) = cos(x).

Maka, u'(x) = cos(x) dan v'(x) = -sin(x).

s'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

s'(x) = (cos(x)cos(x) - sin(x)(-sin(x))) / (cos(x))²

s'(x) = (cos²(x) + sin²(x)) / cos²(x)

Karena cos²(x) + sin²(x) = 1, maka,

s'(x) = 1 / cos²(x)

s'(x) = sec²(x)

Soal 12, Tentukan turunan dari fungsi t(x) = arcsin(x) atau sin^-1(x).

Pembahasan, Misalkan y = arcsin(x), maka sin(y) = x. Kita akan menggunakan diferensiasi implisit.

d/dx (sin(y)) = d/dx (x)

cos(y) dy/dx = 1

dy/dx = 1 / cos(y)

Kita tahu sin(y) = x, jadi kita perlu mencari cos(y) dalam bentuk x. Kita gunakan identitas trigonometri sin²(y) + cos²(y) = 1.

cos²(y) = 1 - sin²(y)

cos²(y) = 1 - x²

cos(y) = √(1 - x²)

Jadi, dy/dx = 1 / √(1 - x²)

t'(x) = 1 / √(1 - x²)

Soal 13, Tentukan turunan dari fungsi u(x) = arccos(x) atau cos^-1(x).

Pembahasan, Misalkan y = arccos(x), maka cos(y) = x. Kita akan menggunakan diferensiasi implisit.

d/dx (cos(y)) = d/dx (x)

-sin(y) dy/dx = 1

dy/dx = -1 / sin(y)

Kita tahu cos(y) = x, jadi kita perlu mencari sin(y) dalam bentuk x. Kita gunakan identitas trigonometri sin²(y) + cos²(y) = 1.

sin²(y) = 1 - cos²(y)

sin²(y) = 1 - x²

sin(y) = √(1 - x²)

Jadi, dy/dx = -1 / √(1 - x²)

u'(x) = -1 / √(1 - x²)

Soal 14, Tentukan turunan dari fungsi v(x) = arctan(x) atau tan^-1(x).

Pembahasan, Misalkan y = arctan(x), maka tan(y) = x. Kita akan menggunakan diferensiasi implisit.

d/dx (tan(y)) = d/dx (x)

sec²(y) dy/dx = 1

dy/dx = 1 / sec²(y)

Kita tahu tan(y) = x, jadi kita perlu mencari sec²(y) dalam bentuk x. Kita gunakan identitas trigonometri 1 + tan²(y) = sec²(y).

sec²(y) = 1 + tan²(y)

sec²(y) = 1 + x²

Jadi, dy/dx = 1 / (1 + x²)

v'(x) = 1 / (1 + x²)

Soal 15, Tentukan turunan dari fungsi w(x) = x^x.

Pembahasan, Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan diferensiasi logaritmik. Ambil logaritma natural dari kedua sisi,

ln(w(x)) = ln(x^x)

ln(w(x)) = x ln(x)

Sekarang, kita diferensiasikan kedua sisi terhadap x,

d/dx (ln(w(x))) = d/dx (x ln(x))

(1/w(x)) w'(x) = ln(x) + x (1/x)

(1/w(x)) w'(x) = ln(x) + 1

w'(x) = w(x) (ln(x) + 1)

Karena w(x) = x^x, maka,

w'(x) = x^x (ln(x) + 1)

Soal 16, Tentukan turunan dari fungsi y = 5^x2.

Pembahasan, Kita akan menggunakan aturan rantai dan fakta bahwa turunan dari a^x adalah a^x ln(a).

Misalkan u = x², maka y = 5^u.

dy/du = 5^u ln(5)

du/dx = 2x

dy/dx = (dy/du) (du/dx)

dy/dx = 5^u ln(5) 2x

Substitusi u = x² kembali,

dy/dx = 2x 5^x2 ln(5)

Soal 17, Tentukan turunan dari fungsi y = log₂(x).

Pembahasan, Kita akan menggunakan perubahan basis logaritma dan fakta bahwa turunan dari ln(x) adalah 1/x.

log₂(x) = ln(x) / ln(2)

y = ln(x) / ln(2)

dy/dx = (1 / ln(2)) d/dx (ln(x))

dy/dx = (1 / ln(2)) (1/x)

dy/dx = 1 / (x ln(2))

Soal 18, Tentukan turunan dari fungsi y = csc(x).

Pembahasan, Kita tahu bahwa csc(x) = 1 / sin(x). Jadi, kita bisa menggunakan aturan pembagian.

Misalkan u(x) = 1 dan v(x) = sin(x).

Maka, u'(x) = 0 dan v'(x) = cos(x).

y' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

y' = (0 sin(x) - 1 cos(x)) / (sin(x))²

y' = -cos(x) / sin²(x)

y' = - (cos(x) / sin(x)) (1 / sin(x))

y' = -cot(x)csc(x)

Soal 19, Tentukan turunan dari fungsi y = sec(x).

Pembahasan, Kita tahu bahwa sec(x) = 1 / cos(x). Jadi, kita bisa menggunakan aturan pembagian.

Misalkan u(x) = 1 dan v(x) = cos(x).

Maka, u'(x) = 0 dan v'(x) = -sin(x).

y' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

y' = (0 cos(x) - 1 (-sin(x))) / (cos(x))²

y' = sin(x) / cos²(x)

y' = (sin(x) / cos(x)) (1 / cos(x))

y' = tan(x)sec(x)

Soal 20, Tentukan turunan dari fungsi y = cot(x).

Pembahasan, Kita tahu bahwa cot(x) = cos(x) / sin(x). Jadi, kita bisa menggunakan aturan pembagian.

Misalkan u(x) = cos(x) dan v(x) = sin(x).

Maka, u'(x) = -sin(x) dan v'(x) = cos(x).

y' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

y' = (-sin(x)sin(x) - cos(x)cos(x)) / (sin(x))²

y' = -(sin²(x) + cos²(x)) / sin²(x)

Karena sin²(x) + cos²(x) = 1, maka,

y' = -1 / sin²(x)

y' = -csc²(x)

Kumpulan soal ini hanyalah sebagian kecil dari berbagai jenis soal turunan yang mungkin Anda temui. Semakin banyak Anda berlatih, semakin baik pemahaman Anda tentang konsep turunan dan aplikasinya. Jangan ragu untuk mencari sumber belajar tambahan dan berdiskusi dengan teman atau guru jika Anda mengalami kesulitan. Selamat berlatih!